Оренбургский государственный университет

Алгоритмы и вычислительные методы в неопубликованных материалах Леонарда Эйлера

Проект № 12-06-31060

Руководитель проекта: канд. физ-мат. наук Шухман Е.В.

Исследовано около 150 страниц заметок из записных книжек Эйлера, связанных с комбинаторными алгоритмами и вычислительными методами.

Проведен анализ алгоритмов, предложенных Эйлером для решения задачи об обходе конем шахматной доски с современной точки зрения, рассмотрены заметки из записных книжек, связанные с этой задачей, рассмотрены возможности применения алгоритмов Эйлера для общих задач поиска гамильтоновых путей, проведена экспериментальная оценка вычислительной сложности алгоритмов Эйлера для построения гамильтоновых путей. Установлено, что метод Эйлера может быть использован для эффективного сокращения перебора при поиске гамильтоновых циклов и путей в неориентированных графах, но не применим при решении практически важных современных задач, связанных с гамильтоновыми циклами и путями.

Проведен анализ и систематизация неопубликованных заметок Эйлера, включающих общие и конкретные вычислительные методы для вычисления значений трансцендентных функций, математических констант, решения дифференциальных уравнений, вычисления несобственных интегралов. Проведено экспериментальное сравнение методов Эйлера для вычисления математических констант. Обнаружены результаты Эйлера, неопубликованные в его статьях, например, тождества для вычисления числа пи, ряды для представления константы Эрдеша-Борвейна, вычисления значений логарифмов и дзета-функции.

Исследованы неопубликованные заметки Г.В. Лейбница, связанные с двоичными дробями. Проведено сравнение результатов Лейбница и Эйлера. Установлено, что Эйлер, в отличие от Лейбница, знал и использовал алгоритм перевода дробных чисел в двоичную систему счисления, аналогичный современному.

Результаты проекта опубликованы в журнальных статьях, представлены на международных конференциях, готовится к изданию монография.